Деление с остатком

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a, если известны делитель b, неполное частное c и остаток d. Рассмотрим пример.

Пример.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12?

Решение.

Нам требуется вычислить делимое a, когда известен делитель b=−21, неполное частное c=5 и остаток d=12. Обратившись к равенству a=b·c+d, получаем a=(−21)·5+12. Соблюдая порядок выполнения действий, сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по , после чего выполняем : (−21)·5+12=−105+12=−93.

Ответ:

−93.

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c, c=(a−d):b и d=a−b·c. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Пример.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3, если известно, что неполное частное равно −7.

Решение.

Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c. Из условия имеем все необходимые данные a=−19, b=3, c=−7. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=−19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21) мы вычисляли по ).

Ответ:

2.

Деление на двузначное число

Когда ученик 3-го класса усвоил деление на однозначное число, можно приступать к следующему этапу — работе с двузначными цифрами. Начинайте с простых, явных примеров, чтобы малыш понял алгоритм действий. Например, возьмите числа 196 и 28 и объясните принцип:

1. Сначала подберите примерное число для ответа. Для этого выясните приблизительно, сколько цифр 28 поместится в 196. Для удобства можно округлять оба числа: 200:30. Получится не больше 6. Полученное число не нужно записывать, это только догадка.
2. Проверяем результат умножением: 28х6. Получается 196. Предположения оказались верными.
3. Запишите ответ: 196:28 =6.

Еще один вариант обучения: деление на двузначное число уголком. Такой способ больше подходит для работы с числами от четырех разрядов, то есть тысяч. Приведем простой пример:

Напишите на листе бумаги 4070, начертите уголок и подпишите делитель — 74.
Определите, с какого числа начнете делить. Спросите у ребенка, можно ли разделить 4 на 74, 40? В результате малыш поймет, что сначала нужно ограничиться числом 407. Очертите полученную цифру сверху полукругом. 0 останется в стороне.
Теперь нужно выяснить, сколько 74 поместится в 407. Действуем с помощью логики и проверки умножением. Получится 5. Записываем результат под уголком (под делителем).
Теперь умножаем 74 на 5 и записываем результат под делимым. Получится 370

Важно начинать запись с первого числа слева.

После записи нужно подвести горизонтальную черту и отнять 370 от 407. Получится 37.
37 разделить на 74 нельзя, поэтому вниз сносится оставшийся в верхнем ряду 0.
Теперь делим 370 на 74

Подбираем множитель (5) и записываем его под уголком.
Умножаем 5 на 74, записываем результат в столбик. Получится 370.
Опять получаем разность. Результат будет равен 0. Значит, деление считается завершенным без остатка. 4070:74=55. Частное смотрим под уголком.

Для проверки правильности решение произведите умножение: 74х55=4070.

Обобщения

Вещественные числа

Если два числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, a{\displaystyle a} может быть поделено на b{\displaystyle b} без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если a,b∈R,b≠{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0}, то a=bq+r{\displaystyle a=bq+r}, где ⩽r<|b|{\displaystyle 0\leqslant r<|b|}

Пример

Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:

⌊7,92,1⌋=3{\displaystyle \left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3} (неполное частное)

7,9−3⋅2,1=1,6{\displaystyle 7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6} (остаток)

Гауссовы целые числа

Гауссово число — это комплексное число вида a+bi{\displaystyle a+bi}, где a,b{\displaystyle a,b} — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число u{\displaystyle u} можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число v{\displaystyle v}, то есть представить в виде:

u=vq+r{\displaystyle u=vq+r}

где частное q{\displaystyle q} и остаток r{\displaystyle r} — гауссовы числа, причём |r|<|v|.{\displaystyle |r|<|v|.}
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, 7+2i{\displaystyle 7+2i} можно разделить на 3−i{\displaystyle 3-i} тремя способами:

7+2i=(3−i)(2+i)+i=(3−i)(1+i)+3=(3−i)(2+2i)+(−1−2i){\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)}

Многочлены

При делении с остатком двух многочленов f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)} для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:

f(x)=q(x)g(x)+r(x){\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)\quad }, причём deg⁡(r)<deg⁡(g).{\displaystyle \quad \deg(r)<\deg(g).}

Пример

2×2+4x+5x+1=2x+2{\displaystyle {\frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2} (остаток 3), так как 2x² + 4x + 5 = (x + 1)(2x + 2) + 3

Определение принадлежности чисел

Не во всех случаях можно воспользоваться программным обеспечением, предварительно инсталлированным на телефон или компьютер. Для этого специалисты рекомендуют использовать методику определения принадлежности числа к группе простых или составных величин. Она имеет такой вид:

Написать исходную величину.
Найти ее множители, основываясь на правила делимости.

Однако для демонстрации работы алгоритма необходимо выполнить анализ для величины, эквивалентной 567. Реализация имеет следующий вид (номер шага равен делителю, кроме первого):

567.
(-), т. к. 7 является нечетным значением.
5+6+7=18 (+). Алгоритм прерывается, поскольку множитель найден.
567 — составная величина.

Далее нахождение множителей можно не продолжать. Исключение составляют только задачи, в которых необходимо найти все делители. Теперь можно переходить непосредственно к алгоритму деления с остатком, поскольку базовых знаний уже достаточно для выполнения этой операции.

Общие сведения

Деление с остатком — разновидность арифметической операции, которая также состоит из делимого и делителя, но результат ее выполнения записывается в виде целой части и некоторого значения. Математическая запись выглядит следующим образом: 4 (+1) или 5 (-1). Следует отметить, что в алгебре встречаются два вида представления результата с остатком:

1. Положительным.
2. Отрицательным.

В первом случае запись имеет такой вид: 36 (+1). Если рассмотреть операцию деления «73/2», то, зная частное и делитель, можно вычислить искомое значение. Для этого нужно умножить частное на делитель, а затем к полученному произведению прибавить остаток, т. е. 36*2+1=73. Положительная форма представления применяется довольно часто и считается наиболее распространенной.

Однако существует и другой вид представления остатка — отрицательный. Его суть заключается в необходимой подстройке частного. Например, для написания компьютерной программы или удобной записи какого-либо параметра физического явления. Например, при делении 71 на 2 результат можно записать в положительной и отрицательной формах, т. е. 71/2=35 (+1) и 71/2=36 (-1) соответственно.

При выполнении обратной конвертации искомая величина не изменяется, т. е. 35*2+1=71 и 36*2−1=71. Иными словами, обе формы представления применяются для удобства записи. Каждый сам определяет тип частного с остатком и использует его в конкретной ситуации.

Примечания

1. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
2. ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. ; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
3. ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++, 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
4. N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
5. К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
6. Стандарт 1973 года: div — division with truncation.

В программировании

Операция вычисления неполного частного и остатка в различных языках программирования

Язык	Неполноечастное	Остаток	Знак остатка
ActionScript			Делимое
Ada			Делитель
	Делимое
Бейсик			Не определено
Си (ISO 1990)		Не определено
Си (ISO 1999)		Делимое
C++ (ISO 2003)		Не определено
C++ (ISO 2011)		Делимое
C#		Делимое
ColdFusion			Делимое
Common Lisp			Делитель
		Делимое
D		Делимое
Delphi			Делимое
Eiffel			Делимое
Erlang			Делимое
Euphoria			Делимое
Microsoft Excel (англ.)			Делитель
Microsoft Excel (рус.)
FileMaker			Делитель
Fortran			Делимое
		Делитель
GML (Game Maker)			Делимое
Go		Делимое
Haskell			Делитель
		Делимое
J			Делитель
Java		Делимое
		Делитель (1.8+)
JavaScript			Делимое
Lua			Делитель
Mathematica			Делитель
MATLAB			Делитель
		Делимое
MySQL			Делимое
Oberon			+, если делитель >0
Objective Caml			Не определено
Pascal			Делимое
Perl	Нет		Делитель
PHP	Нет		Делимое
PL/I			Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)			Делитель
PureBasic		Делимое
Python			Делитель
QBasic			Делимое
R			Делитель
RPG			Делимое
Ruby			Делитель
Scheme			Делитель
SenseTalk			Делитель
	Делимое
Tcl			Делитель
Verilog (2001)			Делимое
VHDL			Делитель
	Делимое
Visual Basic			Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получении случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция вычисляет остаток от деления, а операция осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка

Важно отметить, что операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

• Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
• Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к −∞.

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

• Есть сумма n копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки. — и . Знак остатка совпадает со знаком делимого.
• Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка — 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка (x, y), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? — и соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.

Как запрограммировать, если такой операции нет?

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: q=ab{\displaystyle q=\left} (, в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением). Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды остаток программируется как a−qb{\displaystyle a-qb}.

Если b положительно, а знак r совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой r′=(b+(amod⁡b))mod⁡b{\displaystyle r’=(b+(a\operatorname {mod} b))\operatorname {mod} b}.

Что нужно для освоения деления в младшем школьном возрасте

Деление это не первое арифметическое действие, которое осваивают дети. Поэтому, прежде чем браться за делимое-делитель-частное, нужно обязательно выяснить, знает ли ребёнок разряды чисел и понимает ли принципы:

• сложения;
• вычитания;
• умножения.

Эффективные способы объяснения деления школьникам

Все способы объяснения можно условно поделить на академичные и образные. Первые опираются на цифры, то есть записываются в виде арифметических примеров, вторые на конкретные предметы: конфеты, мячи и т. д., которые умозрительно делятся между людьми, игрушками.

В работе с учениками начальной школы эффективным будет синтетический способ, совмещающий опору на образы и цифры одновременно.

Деление на основе знания таблицы умножения

Для понимания сути деления стоит обратиться к вычислениям с опорой на таблицу умножения.

Инструкция:

1. Записываем пример: 2 х 5 = 10.
2. Берём 10 монет и просим поделить их на двоих получается две стопки по 5 монет.
3. Далее 10 монет делим на пятерых получается 5 стопок по 2 монеты.
4. Вывод при делении мы выясняем, сколько раз каждый множитель помещается в произведении.

На этом приёме разъясняем понятийную базу: то число, которое делится, называется делимое, то число, на которое делится делителем, а результат частным.

Поскольку деление обратно умножению, то второе может проверить результат первого.

Инструкция:

1. Делимое делим на делитель, то есть 10 : 2.
2. Получаем частное 5.
3. Проверяем умножением, то есть частное умножаем на делитель 5 х 2.
4. Получаем 10, что в исходном примере является делимым.

Деление двузначных чисел на однозначные

Чтобы разделить двузначное число, не являющееся произведением таблицы умножения, на однозначное, нужно каждую цифру делимого разделить на делитель и записать первое частное десятками, а второе единицами. Например, 86 : 2.

Инструкция:

1. Делим 8 на 2. Получаем 4.
2. Делим 6 на 2. Получаем 3.
3. Ответ 43.
4. Проверяем 43 х 2 = 86.

Деление способом группирования

Суть этого способа деления заключается в подсчёте количества групп равных делителю, которые помещаются в делимое. Результат будет частным.

Инструкция:

1. Задача состоит в распределении мячей между командами. Решаем пример 30 : 3.
2. Распределим 30 мячей между тремя командами обводим тройки.
3. Считаем количество групп троек 10. Каждой команде достанется по 10 мячей.
4. Вывод 30 : 3 = 10.

Как объяснить деление в столбик

Поскольку деление может быть без остатка, а может быть с остатком, рассмотрим два варианта объяснение такого арифметического действия.

Деление без остатка

Инструкция:

1. Решим пример 396 : 3.
2. Записываем делимое, справа рисуем повёрнутую на левый бок букву Т и в верхнем окошке вписываем делитель 3.
3. Начинаем с сотен. 3 делится на 3 без остатка, получаем 1. Вписываем результат под делителем.
4. Проверяем 1 х 3 получаем 3, вписываем 3 под сотней и производим вычитание. Остатка нет. Подводим черту.
5. Приступаем к десяткам. 9 : 3 получаем 3. Записываем 3 рядом с 1.
6. Проверяем 3 х 3 получаем 9, вписываем 9 под чертой, производим вычитание. Остатка нет. Подводим черту.
7. Работаем с единицами. 6 : 3 получаем 2. Записываем 2 рядом с 13.
8. Проверяем 2 х 3 получаем 6, вписываем 6 под чертой, вычитаем. Остатка нет.
9. Результат 132.

Деление с остатком

Инструкция:

1. Решим пример 90 : 4.
2. В десятках помещается две четвёрки. В частном запишем значение 2, затем перемножаем 2 х 4 = 8, вписываем под 9 полученное произведение, вычитаем и получаем 1.
3. Сносим к разности 0, получаем 10. В 10 помещается 2 четвёрки, 10 8 = 2. Это остаток.
4. 2 на 4 не делится. Ставим десятичную запятую в частном и добавляем 0 к 2.
5. 20 : 4 = 5. Записываем частное после запятой.
6. Проверяем умножением 5 х 4 = 20. 20 20 = 0 остатка нет.

Деление на двузначные числа

Если в делителе есть десятки, сотни, то для облегчения решения делитель можно упростить, разбив на единицы (десятки).

Инструкция:

1. Решим пример 405 : 15.
2. Разобьём 15 на единицы, на 5 и 3 их произведение равно 15.
3. Теперь решаем два примера. Сначала 405 : 5. Частное 81.
4. Затем 81 : 3. Частное 27.
5. Результат 405 : 15 = 27.

Видео: тренажёр быстрого деления в уме для школьников

Объяснить деление можно не только школьнику, но и дошкольнику. Причём не только в условиях детского сада, школы, но и дома. Для этого нужно убедиться, что ребёнок имеет опорные знания, и у родителя есть запас времени, терпения для регулярных занятий со своим чадом.

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

16=5⋅3+1

a=b⋅c+da – делимое,b – делитель,c – неполное частное,d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Многозначные числа

Сложнее всего детям даются задачи на трехзначные и четырехзначные числа. Четверокласснику тяжело оперировать тысячами и сотнями тысяч. У школьника возникают следующие проблемы:

1. Не может определить неполное число делимого для первого действия. Вернитесь к изучению разрядов натуральных чисел, поработайте над развитием внимания малыша.
2. Пропускает 0 в записи частного. Это самая распространенная проблема. В результате у ребенка получается число на несколько разрядов меньше правильного. Чтобы избежать этой ошибки, нужно распечатывать памятку с последовательностью действий в примерах, где в середине частного есть нули. Предложите ребенку тренажер с такими заданиями для отработки навыка.

При обучении решению задач с крупными числами действуйте поэтапно:

1. Объясните, что такое неполное делимое и зачем его выделять.

2. Потренируйтесь в поиске делимого устно без последующего решения задач. Например, дайте детям такие задания:

Найдите неполное частное в примерах: 369:28; 897:12; 698:36.

1. Теперь приступайте к решению на бумаге. Запишите столбиком: 1068:89.
2. Сначала нужно отделить неполное делимое. Можно использовать запятую сверху над числами.

106’8:89

1. Подбирайте частное на отдельном листочке или посчитайте в уме.
2. Распишите результат.
3. Внимательно отнимайте цифры от делимого. Следите за тем, чтобы результат после вычитания был меньше делителя.
4. Продолжайте деление до конца, пока не получится 0.
5. Придумайте еще несколько похожих примеров без остатка. Степень сложности увеличивайте постепенно.

Советы опытных учителей

Опытные учителя советуют, как научить ребенка умножению и делению: лучше объяснить их школьнику в классе вместе. Ведь деление — это процесс, обратный умножению. При произведении процессов в столбик используется таблица умножения. Её применяют так: по ней и ищут первое ближайшее число, на которые можно разделить делимое с заданным делителем. Если нужно разделить 37 на 6, то это 6.

По мере учёбы можно перейти от простых чисел более сложным. Если число большое и выходит за границы таблицы умножения, ученику придется посчитать, сколько примерно раз делитель содержится в делимом. Двузначное 24 содержится в 264 11 раз. Но посчитать это ребёнку, который только осваивает умножение, трудно. И такие задачи пока лучше отложить.

Читайте еще: Лучшие развивающие игры для детей

Ещё хитрость: научить раскладывать делимое на части, которые делятся быстрее. Легко делятся те числа, которые входят в таблицу умножения, или которые делятся на двузначное 10. Приучайте, что если взять большое число и разложить его на сотни, десятки и оставшееся, а потом по отдельности разделить все это и сложить, то процесс займет меньше времени.

36 = (20+16):2 = 20:2 + 16:2 = 10 +8 = 18.

Многие дети не в состоянии освоить деление не потому, что они глупые, а потому что им не дают времени, чтобы ею заняться. Перегруженные предметами программы, дети вряд ли в состоянии выделить на математику столько времени, сколько на нее нужно. Таким детям необходимо давать дополнительные занятия, и только после освоения переходить к другой теме. Иначе отвращение к математике может выработаться на всю жизнь.

И наоборот, если ребёнку дают время освоить ее, он состоит полюбить е и даже связать впоследствии жизни с точными и техническими науками.

Определение

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль, либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше.

Для вычисления неполного частного от деления a{\displaystyle a} на положительное число b{\displaystyle b} следует разделить (в обычном смысле) a{\displaystyle a} на b{\displaystyle b} и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

q=⌊ab⌋,{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,} когда b>{\displaystyle b>0}.

где полускобки ⌊⋅⌋{\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rfloor } обозначают взятие целой части. Значение неполного частного q{\displaystyle q} позволяет вычислить значение остатка r{\displaystyle r} по формуле:

r=a−b⋅q.{\displaystyle r=a-b\cdot q.}

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

q=⌈ab⌉,{\displaystyle q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,} когда b<{\displaystyle b<0}.

Работа с многозначными числами

Программа за 4 класс предлагает более сложный процесс проведения деления с увеличением расчетных чисел. Если в третьем классе расчеты проводились на основе базовой таблицы умножения в пределах от 1 до 10, то четвероклассники вычисления проводят с многозначными числами свыше 100.

Данное действие удобнее всего выполнять в столбик, так как НЧ также будет двузначным (в большинстве случаев), а алгоритм столбика облегчает подсчет и делает его более наглядными.

Разделим многозначные числа на двузначные: 386:25

Данный пример отличается от предыдущих количеством уровней расчета, хотя подсчет проводят по тому же принципу, что и ранее. Рассмотрим подробнее:

386 – делимое, 25 – делитель. Необходимо найти неполное частное и выделить ост-к.

Первый уровень

Делитель – двузначное число. Делимое – трехзначное. Выделяем у последнего первые две левые цифры – это 38. Сравниваем их с делителем. 38>25? Да, значит, 38 можно разделить на 25. Сколько целых 25 входит в 38?

25*1=25, 25*2=50. 50>38, возвращаемся на один шаг назад.

Ответ – 1. Вписываем единицу в зону не полного частного.

Далее:

38-25=13. Вписываем 13 под чертой.

Второй уровень

25*1=25, 25*2=50, 25*3=75, 25*4=100, 25*5=125, 256*=150. 150>136 – возвращаемся назад на один шаг. Добавляем цифру 5 в зону неполного частного, справа от единицы.

Определяем остаток:

136-125=11. Приводим под чертой. 11>25? Нет – действие провести нельзя. У делимого не остались цифры. Значит, делить больше нечего. Подсчет закончен.

Ответ: НЧ равно 15, в ост-ке 11.

Если будет предложено такое деление, когда двузначный делитель больше первых двух цифр многозначного делимого, то в таком случае, третья (четвертая, пятая и последующая) цифра делимого принимает участие в подсчете сразу.

Приведем примеры на деление с трех- и четырехзначными числами:

386:75

75 – двузначное. 386 – трехзначное. Сравниваем первые две цифры слева с делителем. 38>75? Нет – деление провести нельзя. Берем все 3 цифры. 386>75? Да – действие провести можно. Проводим расчет.

75*1=75, 75*2=150, 75*3=225, 75*4=300, 75*5= 375, 75*6=450. 450>386 – возвращаемся на шаг назад. Вписываем 5 в зону неполного частного.

Находим остаток: 386-375=11. 11>75? Нет. Также не остались цифры у делимого. Подсчет закончен.

Результат: НЧ = 5, в ост-ке — 11.

119:35

Выполняем проверку: 11>35? Нет – математическую операцию провести нельзя. Подставляем третье число – 119>35? Да – действие провести можем.

35*1=35, 35*2=70, 35*3=105, 35*4=140. 140>119 – возвращаемся на один шаг назад. Вписываем 3 в зону неполного ост-ка.

Результат: НЧ = 3, осталось — 14.

1195:99

Проверяем: 11>99? Нет – подставляем еще одну цифру. 119>99? Да – начинаем вычисления.

11<99, 119>99.

99*1=99, 99*2=198 – перебор. Вписываем 1 в неполное частное.

Находим ост-к: 119-99=20. 20<99. Опускаем 5. 205>99. Вычисляем.

99*1=99, 99*2=198, 99*3=297. Перебор. Записываем 2 в неполное частное.

Находим ост-к: 205-198=7.

Результат: НЧ = 12, остаток — 7.

Деление с остатком — примеры:

Учимся делить в столбик с остатком:

Таким образом проводятся вычисления. Если быть внимательным и выполнять правила, то ничего сложного здесь не будет. Каждый школьник может научиться считать столбиком, потому что это быстро и удобно. Этой теме необходимо уделить больше внимания, чтобы разобраться со всеми тонкостями подсчета. В дальнейшем она поможет проводить более сложные вычисления. Ведь все то, что изучают в младших классах, так или иначе пригодится в старших. Это основа. Поэтому правила подсчета нужно не просто хорошо изучить, а и понять. Тогда никаких проблем с математикой не возникнет.